Trigonometri Hesaplama
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini derece veya radyan cinsinden hesaplayın. Ters trigonometrik fonksiyonlar da desteklenir.
Açıdan Değere
Değerden Açıya (Ters)
Trigonometri Nedir?
Trigonometri, üçgenlerin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkileri inceleyen matematik dalıdır. Temel trigonometrik fonksiyonlar: sinüs (sin), kosinüs (cos) ve tanjant (tan)'tır.
Temel Trigonometrik Fonksiyonlar
Dik üçgende, bir θ açısı için:
sin(θ) = karşı kenar / hipotenüs cos(θ) = komşu kenar / hipotenüs tan(θ) = karşı kenar / komşu kenar = sin/cos cot(θ) = komşu kenar / karşı kenar = cos/sin
Derece ve Radyan Dönüşümü
Açılar derece (°) veya radyan (rad) cinsinden ifade edilebilir.
Radyan = Derece × π / 180 Derece = Radyan × 180 / π
| Derece | Radyan |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | π/6 |
| 45° | π/4 |
| 60° | π/3 |
| 90° | π/2 |
| 180° | π |
| 270° | 3π/2 |
| 360° | 2π |
Önemli Açıların Trigonometrik Değerleri
| Açı | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | Tanımsız |
| 180° | 0 | −1 | 0 |
| 270° | −1 | 0 | Tanımsız |
| 360° | 0 | 1 | 0 |
Trigonometrik Özdeşlikler
Pisagor özdeşliği (en önemli kural):
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
Bu özdeşlikten türetilen diğerleri:
1 + tan²(θ) = sec²(θ) 1 + cot²(θ) = csc²(θ)
Toplam formülleri:
sin(A + B) = sin A × cos B + cos A × sin B cos(A + B) = cos A × cos B − sin A × sin B
Çift açı formülleri:
sin(2θ) = 2 × sin(θ) × cos(θ) cos(2θ) = cos²(θ) − sin²(θ)
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
Açıyı bilindiğinde oranı bulmak yerine, oranı bilip açıyı bulmak için ters fonksiyonlar kullanılır.
| Fonksiyon | Gösterim | Tanım |
|---|---|---|
| Arcsinüs | arcsin(x) veya sin⁻¹(x) | sin(θ) = x ise θ = arcsin(x) |
| Arckosinüs | arccos(x) veya cos⁻¹(x) | cos(θ) = x ise θ = arccos(x) |
| Arctanjant | arctan(x) veya tan⁻¹(x) | tan(θ) = x ise θ = arctan(x) |
Günlük Hayatta Kullanım Alanları
- Mimarlık ve inşaat: Çatı eğimi, merdiven açısı, kiriş hesapları
- Navigasyon: GPS koordinat hesaplamaları, yön belirleme
- Fizik: Kuvvet bileşenleri, dalga hareketi, optik
- Mühendislik: Titreşim analizi, elektrik devreleri (AC akım)
- Bilgisayar grafiği: 3D modelleme, animasyon, oyun geliştirme
Sıkça Sorulan Sorular
sin ve cos arasındaki temel fark nedir? sin(θ), dik üçgende karşı kenarın hipotenüse oranıdır; cos(θ) ise komşu kenarın hipotenüse oranıdır. Birim çemberde sin θ dikey ekseni, cos θ yatay ekseni temsil eder.
tan(90°) neden tanımsızdır? tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) formülünde, 90°'de cos(90°) = 0 olduğundan sıfıra bölme işlemi gerçekleşir ve bu matematiksel olarak tanımsızdır.
Negatif açıların trigonometrik değerleri nasıl bulunur? sin(−θ) = −sin(θ) ve cos(−θ) = cos(θ) kuralları geçerlidir. Yani sinüs tek fonksiyon, kosinüs çift fonksiyondur.
Trigonometri yalnızca dik üçgenler için mi geçerlidir? Dik üçgen tanımları temel alınır; ancak sinüs ve kosinüs kuralları sayesinde trigonometri her türlü üçgene ve genel açılara uygulanabilir.